Στα 25 του, ο Kurt Gödel απέδειξε ότι δεν μπορεί ποτέ να υπάρξει μια μαθηματική «θεωρία των πάντων». Η αρθρογράφος Natalie Wolchover εξερευνά τις συνέπειες.
Kurt Gödel Papers, Shelby White and Leon Levy Archives Center, Institute for Advanced Study· Samuel Velasco και Michael Kanyongolo / Quanta Magazine
Μια χαμογελαστή γυναίκα
Της Natalie Wolchover
Αρθρογράφος
18 Μαΐου 2026
Το 1931, στρέφοντας τη λογική προς τον ίδιο της τον εαυτό, ο Kurt Gödel απέδειξε ένα ζεύγος θεωρημάτων που μεταμόρφωσαν το τοπίο της γνώσης και της αλήθειας. Αυτά τα «θεωρήματα μη πληρότητας» καθιέρωσαν ότι κανένα τυπικό σύστημα μαθηματικών — κανένα πεπερασμένο σύνολο κανόνων ή αξιωμάτων, από τα οποία υποτίθεται ότι προκύπτουν τα πάντα — δεν μπορεί ποτέ να είναι πλήρες. Πάντα θα υπάρχουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις που δεν προκύπτουν λογικά από αυτά τα αξιώματα.
Πέρασα τις πρώτες εβδομάδες της πανδημίας Covid μαθαίνοντας πώς ο 25χρονος Αυστριακός λογικός και μαθηματικός κατάφερε κάτι τέτοιο, και ύστερα γράφοντας μια συνοπτική παρουσίαση της απόδειξής του σε λιγότερες από 2.000 λέξεις. Η σύζυγός μου, όταν της θύμισα εκείνη την περίοδο, είπε: «Α, ναι, τότε που κόντεψες να τρελαθείς;» Μια μικρή υπερβολή.
Αλλά ακόμη και αφού κατανόησα τα βήματα της απόδειξης του Gödel, δεν ήμουν σίγουρη τι να συμπεράνω από τα θεωρήματά του, τα οποία συνήθως ερμηνεύονται ως αποκλεισμός της δυνατότητας μιας μαθηματικής «θεωρίας των πάντων». Δεν είμαι η μόνη. Στο Gödel’s Proof (ανοίγει σε νέα καρτέλα) — ένα κλασικό βιβλίο του 1958, στο οποίο βασίστηκα σε μεγάλο βαθμό για τη δική μου παρουσίαση — ο φιλόσοφος Ernest Nagel και ο μαθηματικός James R. Newman έγραψαν ότι το νόημα των θεωρημάτων του Gödel «δεν έχει γίνει πλήρως κατανοητό».
Ίσως όχι, αλλά από τότε έχουν περάσει έξι δεκαετίες. Πού βρισκόμαστε σήμερα σε σχέση με αυτές τις ιδέες; Πρόσφατα, ζήτησα από λογικούς, μαθηματικούς, φιλοσόφους και έναν φυσικό να συζητήσουν το νόημα της μη πληρότητας. Είχαν πολλά να πουν για τις συνέπειες του παράξενου διανοητικού επιτεύγματος του Gödel και για το πώς αυτό άλλαξε την πορεία της αδιάκοπης ανθρώπινης αναζήτησης της αλήθειας.
PANU RAATIKAINEN φιλόσοφος στο Πανεπιστήμιο του Tampere και συγγραφέας του λήμματος της Stanford Encyclopedia of Philosophy για τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel
Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, η αξιωματική μέθοδος θεωρείται ευρέως ως ο ιδανικός τρόπος οργάνωσης της
επιστημονικής γνώσης. Ο στόχος είναι να υπάρχει ένας μικρός αριθμός «αυταπόδεικτων» βασικών προτάσεων — αξιώματα, αρχές ή νόμοι — έτσι ώστε όλες οι αλήθειες του συγκεκριμένου πεδίου να μπορούν να παραχθούν λογικά από αυτές.
Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel δείχνουν με μαθηματική ακρίβεια ότι αυτό το ιδεώδες αποτυγχάνει αναγκαστικά για μεγάλα τμήματα των μαθηματικών. Το σύνολο της μαθηματικής αλήθειας που αφορά ακόμη και μόνο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς — 1, 2, 3 … — είναι τόσο παράδοξα πολύπλοκο, ώστε δεν προκύπτει από κανένα πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων.
Αυτό σημαίνει ότι ορισμένα μαθηματικά προβλήματα δεν είναι, ούτε κατ’ αρχήν, επιλύσιμα με τις τρέχουσες μαθηματικές μας μεθόδους. Η πρόοδος μπορεί να απαιτεί δημιουργική εννοιολογική καινοτομία. Ως αποτέλεσμα, οι μαθηματικές αλήθειες δεν συγκροτούν ένα ενιαίο σύνολο εξίσου αδιαμφισβήτητων αληθειών· αντίθετα, το καθεστώς τους ως γνώσης ποικίλλει βαθμιαία, από αναμφίβολα γεγονότα έως ολοένα και πιο αβέβαιες υποθέσεις.
Ο Raatikainen επισημαίνει κάτι σημαντικό: τα θεωρήματα του Gödel θολώνουν τα όρια ανάμεσα στο πού τελειώνει η αντικειμενική αλήθεια και πού αρχίζουν τα επινοημένα μαθηματικά. Ένας ιστορικός τρόπος με τον οποίο οι άνθρωποι προσπάθησαν να υπερβούν τους περιορισμούς των θεωρημάτων του Gödel ήταν να προτείνουν πρόσθετα αξιώματα πέρα από τα κοινώς αποδεκτά. Ας πούμε ότι θέλεις να αποδείξεις μια πρόταση με τα παραδοσιακά αξιώματα, αλλά διαπιστώνεις ότι δεν μπορείς — ότι είναι μη αποφασίσιμη. Αν προσθέσεις ένα νέο αξίωμα στο αρχικό σου σύνολο, μπορεί τότε να καταφέρεις να αποδείξεις ότι η πρόταση είναι αληθής. Αν όμως προσθέσεις ένα διαφορετικό αξίωμα, μπορεί να καταφέρεις να αποδείξεις ότι είναι ψευδής. Άρα το αν είναι αληθής ή ψευδής εξαρτάται από την επιλογή που έχεις κάνει. Ξαφνικά, η «αλήθεια» εξαρτάται περισσότερο από τις προτιμήσεις ή τις παραδοχές κάποιου.
REBECCA GOLDSTEIN φιλόσοφος και συγγραφέας του Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel
Οι διαισθήσεις έπαιζαν πάντοτε σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά. Άλλωστε, δεν μπορούμε να αποδείξουμε τα πάντα· χρειάζεται να αποδεχθούμε ορισμένες αλήθειες — δηλαδή τα αξιώματα — χωρίς απόδειξη, ώστε να μπορέσουμε να ξεκινήσουμε τις αποδείξεις μας. Όμως, μέσα στους αιώνες, μάθαμε ότι μερικές φορές οι διαισθήσεις αποδεικνύονται αναξιόπιστες — τόσο αναξιόπιστες ώστε να δημιουργούν πραγματικά παράδοξα — πράγμα που σημαίνει ότι οδηγούμαστε να διατυπώνουμε ξεκάθαρες αντιφάσεις.
Στις αρχές του 20ού αιώνα, ο Bertrand Russell και ο Alfred North Whitehead εργάζονταν πάνω στο The Principles of Mathematics (ανοίγει σε νέα καρτέλα), το οποίο επιχειρούσε να αναγάγει την αριθμητική στη λογική. [Η άποψη ότι τα μαθηματικά δεν είναι τίποτε άλλο παρά λογική είναι γνωστή ως «λογικισμός».] Η εργασία αυτή οδήγησε τον Russell στην ανακάλυψη αυτού που έγινε γνωστό ως Παράδοξο του Russell. Αφορά το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Το παράδοξο εμφανίζεται όταν ρωτάς: Είναι αυτό το σύνολο μέλος του εαυτού του; Η αντίφαση είναι η εξής: Αν είναι, τότε δεν είναι. Και αν δεν είναι, τότε είναι. Ο Georg Cantor, που θεωρείται ο θεμελιωτής της θεωρίας συνόλων, είχε ήδη αντιληφθεί την αντίφαση από τη δεκαετία του 1890.
Η αντίδραση των μαθηματικών — με πιο δυναμικό εκπρόσωπο τον David Hilbert, τον κορυφαίο μαθηματικό εκείνης της εποχής — ήταν να απαλλάξουν τα μαθηματικά από τις αμφίβολες διαισθήσεις μέσω της τυπικής αξιωματικοποίησής τους σε ένα συνεπές και πλήρες σύνολο αλγοριθμικών, αναδρομικών κανόνων, ουσιαστικά ανάγοντας τα μαθηματικά σε ένα μηχανικό παιχνίδι χειρισμού συμβόλων. Αυτός ο στόχος της τυποποίησης ονομάστηκε Πρόγραμμα του Hilbert.
Αυτό που απέδειξε ο Gödel ήταν ότι το Πρόγραμμα του Hilbert ήταν ανέφικτο. Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητάς του δηλώνει ότι σε κάθε τυπικό σύστημα μαθηματικών που είναι αρκετά πλούσιο ώστε να εκφράζει την αριθμητική, θα υπάρχουν προτάσεις που είναι ταυτόχρονα αληθείς και μη αποδείξιμες. Έτσι, παρότι τα τυπικά συστήματα που αποτελούνται από μηχανικούς κανόνες χειρισμού συμβόλων εξαλείφουν επιτυχώς όλες τις διαισθήσεις, αποτυγχάνουν επίσης να συλλάβουν όλα όσα γνωρίζουμε ότι είναι μαθηματικά αληθή — μια γνώση εμπλουτισμένη από διαισθήσεις σχετικά με τις άπειρες δομές που αποκαλούμε αριθμούς.
Είναι συναρπαστικό ότι οι διαισθήσεις μας για τους αριθμούς μπορεί να ξεπερνούν όσα μπορούμε να αποδείξουμε.
Προσωπικά, η δική μου διαίσθηση μένει σιωπηλή απέναντι στη μαθηματική πρόταση που, στα χρόνια μετά την απόδειξη του Gödel, έκανε τη μη πληρότητα κάτι χειροπιαστό. Ονομάζεται υπόθεση του συνεχούς και ισχυρίζεται ότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών — το συνεχές — είναι το δεύτερο μικρότερο άπειρο σύνολο μετά το σύνολο των φυσικών αριθμών — 1, 2, 3 … Βρέθηκε ότι είναι μη αποφασίσιμη με βάση τα τυπικά αξιώματα των μαθηματικών. Μπορούν να κατασκευαστούν πρόσθετα αξιώματα που να την καθιστούν αληθή ή ψευδή, αλλά οι λογικοί διαφωνούν ως προς το ποια κατεύθυνση πρέπει να ακολουθηθεί.
Ένας φυσικός με τον οποίο μίλησα προειδοποιεί ότι η μη αποφασισιμότητα της υπόθεσης του συνεχούς έχει συνέπειες για το πεδίο του: ότι οι φυσικοί ίσως χρειαστεί να αποφύγουν εντελώς το συνεχές.
CLAUS KIEFER φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Κολωνίας, συγγραφέας μιας εργασίας του 2024 σχετικά με τη σημασία της γκεντελιανής μη πληρότητας για τη θεμελιώδη φυσική.
Η απόδειξη του Kurt Gödel έχει εκτεταμένες και απρόσμενες συνέπειες για τα μαθηματικά. Δεδομένου ότι οι φυσικοί νόμοι διατυπώνονται σε μαθηματική γλώσσα, είναι άραγε σχετική και με τη φυσική; Πιστεύω πως ναι.
Ανάμεσα στις σημαντικότερες μη αποφασίσιμες προτάσεις βρίσκεται η υπόθεση του συνεχούς — CH — η οποία αποδείχθηκε ότι είναι μη αποφασίσιμη με την έννοια του Gödel από τον Paul Cohen το 1963. Η ονομασία «συνεχές» προέρχεται από το αίτημα να ταυτίζονται τα σημεία μιας ευθείας με τους πραγματικούς αριθμούς. Αλλά πόσοι πραγματικοί αριθμοί υπάρχουν; Υπάρχει ένα μη αριθμήσιμο άπειρο πλήθος από αυτούς, αλλά μπορεί αυτή η μη αριθμησιμότητα να προσδιοριστεί; Η CH δηλώνει ότι οι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν το αμέσως επόμενο μικρότερο άπειρο σύνολο μετά το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών, οι οποίοι είναι αριθμήσιμοι.
Τώρα σκέψου ότι οι γνωστές θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις στη φυσική ορίζονται πάνω σε ένα χωροχρονικό συνεχές. Ο μη αριθμήσιμος αριθμός σημείων που συνδέεται με αυτό το συνεχές είναι υπεύθυνος για διάφορα προβλήματα στη φυσική. Στη θεωρία της γενικής σχετικότητας του Einstein, για παράδειγμα, τη σύγχρονη θεωρία μας για τη βαρύτητα, οδηγεί σε μοναδικότητες που εμποδίζουν τη μαθηματική περιγραφή της απαρχής του σύμπαντος και του εσωτερικού των μαύρων τρυπών. Στο Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής, το οποίο περιγράφεται από μια κβαντική θεωρία πεδίου, οι άμεσοι υπολογισμοί δίνουν άπειρα αποτελέσματα για ενέργειες και άλλες φυσικές ποσότητες, τα οποία πρέπει να εξαλειφθούν μέσω μιας περίπλοκης και μη διαισθητικής μαθηματικής διαδικασίας.
Η κατάσταση γίνεται ακόμη πιο σοβαρή στην προσπάθεια για μια τελική ενοποιημένη θεωρία όλων των αλληλεπιδράσεων. Μια ενοποιημένη θεωρία θα έπρεπε να χαρακτηρίζεται από μια συνεπή και πλήρη μαθηματική γλώσσα. Αν όμως μια ενοποιημένη θεωρία περιέγραφε τον χωροχρόνο ως συνεχές, η CH θα μπορούσε να καταστήσει τη θεωρία μη πλήρη. Οι φυσικοί έχουν ήδη δείξει ότι η CH οδηγεί σε μη αποφασίσιμα ερωτήματα στην κβαντική θεωρία πεδίου, όπως το αν ορισμένα ατομικά συστήματα έχουν ένα «ενεργειακό χάσμα», που τους επιτρέπει να καταλήγουν σε σταθερές θεμελιώδεις καταστάσεις. Αυτή η μη αποφασισιμότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο υπολογισμός υποθέτει πως τα άτομα κατοικούν σε ένα χωροχρονικό συνεχές. Θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι μια πιο θεμελιώδης θεωρία — με πληρέστερα αξιώματα — θα μπορούσε να αποφασίσει το ερώτημα, αλλά η τελική θεωρία δεν θα έπρεπε να έχει μη αποφασίσιμες προτάσεις. Επομένως, δεν θα έπρεπε να περιλαμβάνει συνεχές.
Κατά τη γνώμη μου, αυτή η κατάσταση μη αποφασισιμότητας μπορεί να αποφευχθεί μόνο αν η δομή του χώρου και του χρόνου είναι διακριτή — δηλαδή αν χαρακτηρίζεται μόνο από ένα αριθμήσιμο άπειρο σημείων. Υπάρχουν ενδείξεις διακριτότητας σε ορισμένες προσεγγίσεις της κβαντικής βαρύτητας, για παράδειγμα στη θεωρία χορδών ή στην κβαντική βαρύτητα βρόχων, αλλά η κατάσταση απέχει πολύ από το να είναι ξεκάθαρη.
Αξίζει να σημειωθεί ότι, πέρα από αυτά τα προβλήματα με την υπόθεση του συνεχούς, οι φυσικοί υψηλών ενεργειών έχουν πολλούς ακόμη λόγους να πιστεύουν ότι ένας συνεχής χωροχρόνος δεν είναι θεμελιώδης στην πραγματικότητα, αλλά μάλλον μόνο μια ψευδαίσθηση σε μεγάλες αποστάσεις, η οποία αναδύεται από άλλα συστατικά.
JOUKO VÄÄNÄNEN μαθηματικός και λογικός στα πανεπιστήμια του Ελσίνκι και του Άμστερνταμ
Η μη πληρότητα είναι ένα ανεπιθύμητο αλλά αναπόφευκτο γεγονός της ζωής στα μαθηματικά, όπως οι άρρητοι και οι υπερβατικοί αριθμοί στη θεωρία αριθμών, ή η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg στη φυσική.
Υπάρχει ένα είδος «φράγματος Gödel» που η τυπική γλώσσα δεν μπορεί να παρακάμψει: όσο ισχυρότερη είναι η εκφραστική δύναμη μιας λογικής — δηλαδή όσο περισσότερα πράγματα μπορείς να πεις μέσα σε αυτή τη λογική — τόσο ασθενέστερη είναι η αποτελεσματικότητά της — δηλαδή η ικανότητά μας να αποδεικνύουμε προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς μέσα σε αυτή τη λογική. Και όσο ισχυρότερη είναι η αποτελεσματικότητα, τόσο ασθενέστερη είναι η εκφραστική δύναμη.
Για παράδειγμα, ένα από τα απλούστερα λογικά συστήματα είναι η προτασιακή λογική, η οποία σου επιτρέπει να συνδυάζεις προτάσεις με πράξεις όπως «και», «ή» και «όχι». Είναι πολύ αποτελεσματική, αλλά η εκφραστική της δύναμη είναι περιορισμένη. Στο άλλο άκρο του φάσματος βρίσκεται η λογική δεύτερης τάξης, η οποία σου επιτρέπει να διατυπώνεις προτάσεις για αντικείμενα, ιδιότητες, σύνολα και σχέσεις. Έχει τεράστια εκφραστική δύναμη και πολύ ασθενή αποτελεσματικότητα. Είναι σαν το «γινόμενο» της αποτελεσματικότητας και της εκφραστικής δύναμης να ήταν σταθερό, όπως ακριβώς στην αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, η οποία λέει ότι υπάρχει ένα όριο στην ακρίβεια με την οποία ορισμένα «συμπληρωματικά» ζεύγη φυσικών ιδιοτήτων, όπως η θέση και η ορμή, μπορούν να είναι ταυτόχρονα γνωστά· με άλλα λόγια, όσο πιο ακριβώς μετριέται η μία ιδιότητα, τόσο λιγότερο ακριβώς μπορεί να είναι γνωστή η άλλη. Στη λογική, με μια αξιοσημείωτη αναλογία, η αποτελεσματικότητα και η εκφραστικότητα είναι τέτοιες «συμπληρωματικές» ιδιότητες. Αυτό είναι το πραγματικό περιεχόμενο των θεωρημάτων μη πληρότητας του Gödel.
Προχωρούμε σκοντάφτοντας μέσα στα μαθηματικά, χωρίς καμία βεβαιότητα συνέπειας ή πληρότητας. Έτσι απλώς έχουν τα πράγματα.
Είναι σοκαριστικό ότι τα μαθηματικά, τα οποία αποτελούν τη βάση των ακριβών επιστημών, στερούνται ενός θεμελίου που να μπορεί να αποδειχθεί συνεπές και πλήρες. Ο Hilbert μπορεί να συγχωρεθεί που πίστευε ότι κάτι τέτοιο δεν θα μπορούσε να ισχύει. Κι όμως, ισχύει, με τόση βεβαιότητα όση και το ότι η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητος αριθμός. Τα μαθηματικά έχουν έναν αινιγματικό πυρήνα μη πληρότητας, ο οποίος μπορεί να μετακινείται από το ένα σημείο στο άλλο, αλλά δεν θα εξαφανιστεί ποτέ.
Παραδόξως, ο ίδιος ο Gödel ήταν λίγο πιο αισιόδοξος. Εδώ, η Rachael Alvir εξηγεί ότι ο Gödel διατήρησε το όνειρο ενός τυπικού λογικού συστήματος που θα μπορούσε να αποφασίσει την υπόθεση του συνεχούς και όλα τα άλλα ερωτήματα σχετικά με τα σύνολα, τα δομικά στοιχεία των σύγχρονων μαθηματικών. Τα θεωρήματα μη πληρότητάς του μας λένε ότι κάθε τέτοιο σύστημα, εφόσον αποτελείται από έναν πεπερασμένο κατάλογο αξιωμάτων, θα γεννά νέες προτάσεις που θα είναι μη αποφασίσιμες μέσα σε αυτό το σύστημα. Αναρωτήθηκε όμως για τη δυνατότητα μιας άπειρης διαδοχής ολοένα και μεγαλύτερων αξιωματικών συστημάτων, τα οποία θα μπορούσαν να αποφασίζουν κάθε ερώτημα.
RACHAEL ALVIR λογικός και λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Waterloo
Όλοι έχουμε εκτεθεί στη γενική ιδέα ότι ο Gödel «σκότωσε» το Πρόγραμμα του Hilbert για την πλήρη τυποποίηση των μαθηματικών. Αυτή είναι μια συνηθισμένη ερμηνεία, γι’ αυτό σοκαρίστηκα όταν διάβασα για πρώτη φορά τα πρωτότυπα έργα του Gödel. Στην εργασία του του 1931 (ανοίγει σε νέα καρτέλα), στην οποία αποδεικνύονται για πρώτη φορά τα θεωρήματα μη πληρότητας, ο Gödel δηλώνει ρητά το αντίθετο: «Πρέπει να σημειωθεί ρητά ότι η Πρόταση XI — και τα αντίστοιχα αποτελέσματα για τα M και A — δεν αποτελούν αντίφαση προς τη φορμαλιστική θέση του Hilbert». Σε μια υποσημείωση, επαναλαμβάνει ότι τα μη αποφασίσιμα θεωρήματα της εργασίας του 1931 είναι μη αποφασίσιμα μόνο σε σχέση με ένα συγκεκριμένο σύστημα. Οι μη αποφασίσιμες προτάσεις οποιουδήποτε δεδομένου λογικού πλαισίου μπορούν να αποδειχθούν μαθηματικά αληθείς ή ψευδείς μέσα σε ένα ευρύτερο λογικό πλαίσιο.
Ο Gödel δεν είχε κανένα πρόβλημα με τον ισχυρισμό ότι τα μαθηματικά θα μπορούσαν να αποδείξουν ή να διαψεύσουν κάθε καλά διατυπωμένη πρόταση. Αντίθετα, εκείνο στο οποίο αντιδρούσε ο Gödel ήταν οι περιοριστικές μέθοδοι του Hilbert. Γιατί θα έπρεπε να πιστεύουμε ότι υπάρχει ένα μοναδικό, πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων, από το οποίο θα προκύπτει κάθε αλήθεια μέσα από έναν πεπερασμένο αριθμό λογικών βημάτων; Ο Gödel πίστευε ότι ήταν δυνατό να επαναπροσδιορίσουμε τι εννοούμε με τον όρο τυπικό μαθηματικό πλαίσιο, ή να επιτρέψουμε εναλλακτικά πλαίσια. Συχνά συζητούσε μια άπειρη ακολουθία αποδεκτών λογικών συστημάτων, καθένα ισχυρότερο από το προηγούμενο. Κάθε καλά διατυπωμένο μαθηματικό ερώτημα θα μπορούσε ίσως να απαντηθεί μέσα σε κάποιο από αυτά.
Συχνά οι άνθρωποι μιλούν σαν η υπόθεση του συνεχούς — CH — να είναι το αδιάσειστο στοιχείο που δείχνει ότι μερικές φορές τα μαθηματικά ερωτήματα δεν έχουν απάντηση. Κατά τη γνώμη μου, όμως, αυτή η κατάσταση παρέχει πολύ λίγα τεκμήρια υπέρ της ύπαρξης «απολύτως μη αποφασίσιμων» μαθηματικών προβλημάτων, σε σχέση με οποιοδήποτε δεδομένο επιτρεπτό πλαίσιο. Είναι απλώς ένα παράδειγμα μιας πρότασης που δεν έχει αποφασιστεί μέχρι σήμερα και, από μόνη της, δεν δίνει κανέναν λόγο να υποθέσουμε ότι δεν θα μπορούσε να αποφασιστεί στο μέλλον με νέες τεχνικές. Υπάρχουν εκτενείς, συνεχιζόμενες συζητήσεις γύρω από αυτό το ζήτημα βαθιά μέσα στα πεδία των μαθηματικών και της φιλοσοφίας.
Το ισχυρότερο σημείο που θέλω να τονίσω είναι ότι τα μαθηματικά αποτελέσματα, από μόνα τους, δεν μπορούν να λύσουν το ερώτημα. Δεν είναι καθόλου προφανές ότι υπάρχουν μαθηματικά ερωτήματα χωρίς λύση. Για μένα, τα θεωρήματα του Gödel δεν δείχνουν ότι τα μαθηματικά είναι περιορισμένα, αλλά μάλλον ότι τα μαθηματικά είναι πολύ ευρύτερα και ισχυρότερα από τη φινιτιστική θεώρηση του Hilbert.
Η Alvir διευκρίνισε περαιτέρω ότι υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους το παλιό όνειρο της μαθηματικής αλήθειας θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί. Μια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι να προστεθεί στα κοινώς αποδεκτά αξιώματα ένα νέο αξίωμα που αποφασίζει την CH και δεν οδηγεί κατά τα άλλα σε αντιφάσεις. Μια άλλη προσέγγιση είναι να ανακαλυφθεί ένα σχήμα για μια απειρία αξιωμάτων που αποφασίζει την CH και άλλα ερωτήματα. Ή θα μπορούσαμε να περάσουμε σε ένα διαφορετικό λογικό σύστημα από το καθιερωμένο, και μέσα σε αυτή την εναλλακτική λογική να αποφασίσουμε την CH. «Το προσωπικά αγαπημένο μου [λογικό σύστημα] ονομάζεται L-ω₁-ω», μου είπε η Alvir, για όποιον θέλει να το εξερευνήσει περαιτέρω. Ή ίσως η απάντηση να είναι «κάτι εντελώς νέο», είπε — «μια πραγματικά πρωτότυπη έκλαμψη δημιουργικής ιδιοφυΐας. … Επινοούμε ριζικά νέες μαθηματικές τεχνικές για να λύνουμε προβλήματα συνεχώς. Γιατί να περιμένουμε ότι δεν θα κάνουμε το ίδιο και για την CH;»
Βέβαια, ακόμη κι αν αποδεικνυόταν ότι η CH είναι αληθής ή ψευδής, αυτό δεν θα εξάλειφε όλη τη μη αποφασισιμότητα.
Θα αφήσω την τελευταία λέξη στη συνάδελφο — και σύζυγο — του Väänänen.
JULIETTE KENNEDY φιλόσοφος των μαθηματικών και μαθηματική λογικός στο Πανεπιστήμιο του Ελσίνκι, επιμελήτρια του Interpreting Gödel: Critical Essays
Είναι εύκολο να χάσει κανείς την αίσθηση του θαυμασμού μπροστά στο γεγονός ότι ένα τόσο εκτυφλωτικά προφανές σύνολο αξιωμάτων — τα αξιώματα Peano για την αριθμητική, δηλαδή το σύνολο κανόνων για τους φυσικούς αριθμούς 0, 1, 2, 3 …, στενά συγγενές με το σύστημα που χρησιμοποίησε ο Gödel στην απόδειξή του, όπως ο κανόνας «κάθε αριθμός έχει έναν διάδοχο» — είναι ουσιωδώς μη πλήρες και μη αποφασίσιμο. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι αξιωματικοποιήσιμες συνεπείς επεκτάσεις του είναι μη πλήρεις και μη αποφασίσιμες. Κράτα ζωντανό αυτόν τον θαυμασμό! Τα θεωρήματα μη πληρότητας μας διδάσκουν ότι, όταν πρόκειται για την προσπάθειά μας να κυριαρχήσουμε πάνω στην εννοιολογική τάξη — είτε στα μαθηματικά είτε, για το ίδιο θέμα, σε οποιοδήποτε άλλο πεδίο — θα αποτυγχάνουμε πάντοτε. Και πράγματι, σε αυτή την περίπτωση περισσότερο από κάθε άλλη, θα έπρεπε να χαιρόμαστε που αποτύχαμε, γιατί η αποτυχία ήταν ξεκάθαρα το πιο ενδιαφέρον, το πιο βαθύ αποτέλεσμα.
